奇函式除偶函式是奇函式,那麼偶函式除奇函式是什麼函式

2022-09-23 10:31:20 字數 5733 閱讀 7995

1樓:柳堤風景

函式奇偶性簡介:

奇偶性是函式的重要性質,是研究函式對稱性的手段之一。奇偶性可從函式影象和解析式兩個角度判斷。函式影象關於原點對稱的叫做奇函式;函式影象關於y軸對稱的叫做偶函式。

從解析式的角度判斷,對於函式f(x)定義域內的任意x,必須使f(x)與f(-x)都有意義,也就是說,具有奇偶性的函式,它的定義域必須關於原點對稱。在這個前提下:①如果f(x)與f(-x)相反,則稱f(x)為奇函式;②如果f(x)與f(-x)相等,則稱f(x)為偶函式。

兩個具有奇偶性的函式g(x)與h(x)經過加、減、乘、除運算後得到的新函式奇偶性分析:

我們只需要按照加減乘除的法則經過簡單的運算便可 ,具體分析如下:

(1)g(x)與h(x)都是奇函式,那麼g(-x)=-g(x),h(-x)=-h(x):

g(-x)+h(-x)=[-g(x)]+[-h(x)]=-[g(x)+h(x)],所以g(x)+h(x)是奇函式;

g(-x)-h(-x)=[-g(x)]-[-h(x)]=-g(x)+h(x)=-[g(x)-h(x)],所以g(x)-h(x)是奇函式;

g(-x)*h(-x)=[-g(x)]*[-h(x)]=g(x)*h(x),所以g(x)*h(x)是偶函式;

g(-x)÷h(-x)=[-g(x)]÷[-h(x)]=g(x)÷h(x),所以g(x)÷h(x)是偶函式;

(2)g(x)與h(x)都是偶函式,那麼g(-x)=g(x),h(-x)=h(x):

g(-x)+h(-x)=g(x)+h(x),所以g(x)+h(x)是偶函式;

g(-x)- h(-x)=g(x)-h(x),所以g(x) - h(x)是偶函式;

g(-x)*h(-x)=g(x)*h(x),所以g(x)*h(x)是偶函式;

g(-x)÷h(-x)=g(x)÷h(x),所以g(x)÷h(x)是偶函式;

(3)g(x)是奇函式,h(x)是偶函式,那麼g(-x)=-g(x),h(-x)=h(x):

g(-x)+h(-x)=-g(x)+h(x), g(-x)+h(-x)與g(x)+h(x)既不相等也不相反,

所以   g(x)+h(x)既不是奇函式也不是偶函式;

g(-x)- h(-x)=-g(x)-h(x),g(-x)-h(-x)與g(x)-h(x)既不相等也不相反,

所以   g(x)-h(x)既不是奇函式也不是偶函式;

g(-x)*h(-x)=[-g(x)]*h(x)=-[g(x)*h(x)],所以g(x)*h(x)是奇函式;

g(-x)÷h(-x)=[-g(x)]÷h(x)=-[g(x)÷h(x)],所以g(x)÷h(x)是奇函式;

h(-x)÷g(-x)=h(x)÷[-g(x)]=-[h(x)÷g(x)],所以h(x)÷g(x)是奇函式;

綜上所述,得如下結論:

(1)兩個奇函式相加或相減,結果仍然是奇函式;兩個奇函式相乘或相除結果是偶函式;

(2)兩個偶函式無論相加,相減,相乘,相除,結果都仍然是偶函式;

(3)一個奇函式與一個偶函式相加或相減,結果既不是奇函式也不是偶函式;一個奇函式與一個偶函式相乘或相除,結果是奇函式;

上述(3)中的減法與除法,不論被減數與減數、被除數與除數的順序。也就是說,奇函式減去偶函式與偶函式減去奇函式,所得結果都不再具有奇偶性;奇函式除以偶函式與偶函式除以奇函式,所得結果都仍然是奇函式。

注意問題:

一個函式如果是奇函式或者偶函式(我們也說這個函式具有奇偶性),那麼對於定義域內的任意x而言,-x也必須在定義域內,這樣才能保證f(x)與f(-x)都有意義。所以判斷函式的奇偶性之前必須先判斷函式的定義域是否關於原點對稱,如果函式的定義域不是關於原點對稱的,那麼它必然不具備奇偶性。

補充:

如果函式f(x)是奇函式,且f(0)存在,那麼一定有f(0)=0.這一條性質也是我們解題中經常用到的。

2樓:匿名使用者

設f(x)是偶函式,g(x)是奇函式。那麼:

φ(x)=g(x)/f(x)是奇函式

∵φ(-x)=g(-x)/f(-x)=g(x)/[-f(x)]=-g(x)/f(x)=-φ(x).

3樓:dns計算機

令f(x)是奇函式,g(x)是奇函式,可知f(x)和g(x)的定義域都是關於原點對稱的

並且f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),則:1/(-f(x))=-1/f(x),1/g(-x)=1/g(x)

可以看出奇函式的倒數是符合奇函式運算規則的,偶函式的倒數也符合偶函式運算規則

那定義域是否符合呢?

1/f(x)的定義域是使得f(x)≠0成立的x值,而奇函式f(x)是關於原點對稱的,即使f(x)=0的x值

也是關於原點對稱的,所以1/f(x)的定義域關於原點對稱

1/g(x)的定義域是使得g(x)≠0成立的x值,而偶函式g(x)是關於y軸對稱的,即使g(x)=0的x值

也是關於y軸對稱的,所以1/g(x)的定義域關於y軸對稱,即關於原點對稱

所以奇函式的倒數還是函式;偶函式的倒數還是偶函式

奇函式除以偶函式和偶函式除以奇函式的結果分別是什麼函式?

4樓:曉龍老師

奇函式除以偶函式的結果是:分母不為0的奇函式偶函式除以奇函式的結果是:分母不為0的奇函式例如:解:設g(x)為偶函式,f(x)為奇函式。

所以:f(-x)÷g(-x)=-f(x)÷g(x)(奇函式)g(-x)÷f(-x)=-g(x)÷f(x)(奇函式)奇函式性質:

1、兩個奇函式相加所得的和或相減所得的差為奇函式。

2、 一個偶函式與一個奇函式相加所得的和或相減所得的差為非奇非偶函式。

3、 兩個奇函式相乘所得的積或相除所得的商為偶函式。

4、 一個偶函式與一個奇函式相乘所得的積或相除所得的商為奇函式。

偶函式性質:

1、如果知道函式表示式,對於函式f(x)的定義域內任意一個x,都滿足 f(x)=f(-x) 如y=x*x。

2、如果知道影象,偶函式影象關於y軸(直線x=0)對稱。

3、定義域d關於原點對稱是這個函式成為偶函式的必要不充分條件。

5樓:良駒絕影

如:f(x)=x²,x∈(-∞,-2)∪(2,+∞),是偶函式;

g(x)=x,x∈(-1,1),是奇函式,則:[f(x)]/[g(x)]無奇偶性可言。

若定義域有交集,則:[f(x)]/[g(x)]及[g(x)]/[f(x)]在公共定義域內是奇函式。

6樓:匿名使用者

奇函式除以偶函式也等於奇函式乘以偶函式

偶函式除以奇函式也等於偶函式乘以奇函式

以上都可換成偶函式乘以奇函式 還是奇函式希望能幫到你。。。

7樓:匿名使用者

設f(x)是奇函式g(x)是偶函式

f(-x)=-f(x) g(-x)=g(x)f(-x)/g(-x)=-f(x)/g(x)g(-x)/f(-x)=-g(x)/f(x)∴奇函式除以偶函式和偶函式除以奇函式的結果分別是奇函式

8樓:匿名使用者

是奇函式,但分母不能全為0

9樓:看月亮爬上來

可設f(-x)=-f(x),即f(x)為奇函式g(-x)=g(x),即g(x)為偶函式

f(-x)/g(-x)=-f(x)/g(x) 為奇函式g(-x)/f(-x)=g(x)/-f(x)=-g(x)/f(x)為奇函式

奇函式除偶函式得到的是什麼!偶函式除以奇函式得到的是什麼?

10樓:匿名使用者

打個比方,把奇函式看成一個負數,偶函式看成正數,所謂"腹(負)肌(奇)正餓(偶)"。

我們知道兩個非零數字的乘積或商,滿足這樣的規律:

負負得正,正負得負,正正得正

套用上面規律:

奇奇得偶,奇偶得奇,偶偶得偶

多好的對聯啊

奇函式除以奇函式;偶函式除以偶函式分別是什麼函式?

11樓:易濱爾謐

不一定如y=x

和y=x^3

是奇函式,但x/x=1,y=1是非奇非偶函式,可是x^3/x=x^2,是偶函式

偶函式除以偶函式也一樣

y=x^2和y=x^4都是偶函式,x^2/x^2=1,y=1是非奇非偶函式,x^4/x^2=x^2是偶函式

奇函式加奇函式是偶函式還是奇函式

12樓:你愛我媽呀

兩個奇函式相加所得

的和或相減所得的差為奇函式。

設f(x)、g(x)都是奇函式,而且h(x)=f(x)+g(x)。

那麼h(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-(f(x)+g(x))=-h(x)。

所以h(x)為奇函式。

13樓:匿名使用者

根據定義證明

1、奇函式加上奇函式等於奇函式

設f(x)、g(x)都是奇函式,而且h(x)=f(x)+g(x)那麼h(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-(f(x)+g(x))=-h(x)

所以h(x)為奇函式

2、偶函式加偶函式等於偶函式

設f(x)、g(x)都是偶函式,而且h(x)=f(x)+g(x)那麼h(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=h(x)所以h(x)為偶函式

3、奇函式加偶函式等於非奇非偶函式

設f(x)是奇函式,g(x)是偶函式,而且h(x)=f(x)+g(x)

那麼h(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)顯然h(-x)不等於h(x),也不等於-h(x)所以h(x)為非奇非偶函式

4、常數項看成是偶函式

設f(x)=k(k為常數)

f(-x)=k=f(x)

所以f(x)為偶函式

14樓:載建碧盼柳

奇函式,每一個函式值都是相反數,和當然也是相反數

15樓:痞小爛飛

圖中偶函式的圖那是錯誤的,圖中必是奇函式。

偶函式除以偶函式是什麼函式? 奇函式除以奇函式是什麼函式? 奇函式除以偶函式是什麼函式? 有沒有相

16樓:臧嬋娟揚代

答:(一)結論:

偶函式除以偶函式是偶函式,奇函式除以奇函式是偶函式,奇函式除以偶函式是奇函式,偶函式除以奇函式是奇函式。

(二)推廣:

偶函式乘以偶函式是偶函式,奇函式乘以奇函式是偶函式,奇函式乘以偶函式是奇函式,偶函式乘以奇函式是奇函式。

(三)證明:

設f(x)和f1(x)都是奇函式,g(x)和g1(x)都是偶函式則f(-x)=-f(x),f1(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),g1(-x)=g1(x)

令f(x)=f(x)÷g(x)

則f(-x)=f(-x)÷g(-x)=-f(x)÷g(x)=-f(x)

∴f(x)是奇函式

即奇函式除以偶函式是奇函式

其餘命題,同法可證。

(四)探求:

“負負得正”:兩數相乘(除),同號得正,異號得負。

“余余得正”:sin(90°-a)=cosa,函式互餘,角度互餘。

“反反得正”:若y是z的反比例函式,z是x的反比例函式,則y是x的正比例函式。

“減減得正”:若y是z的減函式,z是x的減函式,則y是x的增函式。

故本題命題可謂:“奇奇得正”。